S1 =1 cm (počáteční velikost)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Zde můžeme pozorovat vzor. Velikost skořepiny v každé fázi se získá přidáním 1/3 velikosti předchozí fáze.
Obecně lze velikost skořepiny v n -the fázi vyjádřit jako:
Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1
Abychom určili počet skořápek krabů (s výjimkou počátečního skořepiny), musíme najít hodnotu n, pro kterou Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ s1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Můžeme rozpoznat výraz uvnitř držáků jako součet geometrické řady s prvním termínem 1 a společným poměrem 1/3. Součet geometrické řady je dán:
Součet =a1 / (1 - r), kde A1 je první termín a R je běžný poměr.
Připojení A1 =1 a R =1/3, dostaneme:
Součet =1/(1 - 1/3) =3/2
Proto,
10 cm ≤ s1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
To znamená, že krab vrhne svou skořápku, když dosáhne velikosti přibližně 6,67 cm.
Abychom určili počet přístřešek skořápek, musíme najít hodnotu n tak, že Sn ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ s1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(n-1) S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]
Protože součet geometrické řady je 3/2, máme:
6,67 cm ≤ s1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
To znamená, že krab vrhne svou skořápku, jakmile jeho velikost přesáhne 4,45 cm.
Nyní musíme zjistit počet fází nebo slínit, že krab podstoupí, než jeho velikost překročí 4,45 cm.
Počínaje S1 =1 cm můžeme vypočítat následující fáze následujícím způsobem:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Vidíme, že S4 je větší než 4,45 cm. Krab proto během přechodu z třetí fáze (S3) do čtvrté fáze (S4) zbaví skořápky.
Krab tedy bude mít 3 skořápky (s výjimkou počátečního skořepiny) do doby, kdy jeho velikost překročí 10 cm.